Задание 16 профильного ЕГЭ по математике — экономическая задача на 2 балла. Чаще всего это кредит или вклад, реже — оптимальный выбор (наибольшая прибыль, наименьшие затраты). Почти все задачи сводятся к двум схемам кредита.
Схема 1: долг уменьшается равномерно
Условие звучит так: «долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на то же число предыдущего года (месяца)». Это дифференцированные платежи: основной долг S каждый период уменьшается на S/n, а платёж равен этой доле плюс проценты на текущий долг.
Главная формула: сумма процентов за весь срок равна r · S · (n + 1) / 2, где r — ставка в долях. Значит, общая сумма выплат равна S + r · S · (n + 1) / 2.
Пример. Кредит на 5 лет под 20% годовых, долг уменьшается равномерно, всего выплачено 1,6 млн рублей. Проценты: 0,2 · S · 6 / 2 = 0,6S, всего 1,6S = 1,6 млн, значит S = 1 млн рублей.
Схема 2: равные платежи
«Кредит погашен несколькими равными платежами». Здесь удобно записать долг после каждого платежа: после первого года — S · k − X, после второго — (S · k − X) · k − X, где k = 1 + r. Последний долг приравнивают к нулю.
Пример. Кредит на 2 года под 10%, два равных платежа по 1 210 000 рублей. (1,1S − X) · 1,1 − X = 0, откуда 1,21S = 2,1X и S = 2 100 000 рублей.
Вклады
Вклад — та же схема «наоборот»: сумма умножается на k каждый период, пополнения прибавляются. Выпишите вклад по годам одной строкой на каждый год и решите полученное неравенство. Если ответ должен быть целым, округляйте в нужную сторону и проверьте соседнее значение.
Как не потерять баллы
- Один из двух баллов дают за верно построенную модель — выписывайте выражения для долга по годам полностью.
- Считайте в тысячах рублей: меньше нулей — меньше арифметических ошибок.
- Проверяйте ответ подстановкой: долг в конце срока должен стать нулём.
Остальные задания части 2 — в гайде «Часть 2 ЕГЭ по профильной математике».